Molti articoli spiegano perché la maggioranza degli studenti non ami (eufemismo) la Matematica e danno consigli su come rimediare. Li condivido quasi tutti, a partire dal più importante: non studiate nulla a memoria, ma cercate di capire ogni passaggio. Questo vi aiuterà anche a ricordare.

Le belle esortazioni rischiano però di lasciare il tempo che trovano, se non sono illustrate da esempi concreti.

 

Dopo una vita di ricerca in Fisica teorica, dove la Matematica è pane quotidiano, e arricchito da parecchi anni di doposcuola ASAI per le superiori, vorrei provare a entrare nel vivo, discutendo un argomento specifico, cercando di non essere troppo tecnico.

Naturalmente mi rivolgo in primis ai professori, ma mi farebbe piacere se leggessero anche gli studenti, anzi spesso parlo direttamente a loro (però non usate questo scritto contro i vostri insegnanti! Promesso? Anche perché spesso è colpa dei libri di testo o addirittura dei programmi...).

Mi aspetto, anzi spero, che la prima reazione del prof sia: "Ma vuol insegnare ai gatti ad arrampicare? Queste sono cose banali e le sappiamo benissimo!". In tal caso, interpretate questo articoletto come un incoraggiamento. Chissà però che qualcuno non sia stimolato a riflettere in modo critico su qualche aspetto del suo metodo d'insegnamento?

 

E allora comiciamo e parliamo dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite.

 

Questo è un tipico esempio della mania classificatoria che pervade i libri di testo. Lasciamola a Linneo, che fece un lavoro preziosissimo, ma la Matematica è tutt'altra cosa! Dovrebbe insegnare ad andare oltre gli schemi, come ogni scienza.

 

Vediamo che cosa dicono i libri di testo (visto che non ce l'ho con i professori?). Sparano subito l'elenco di 4 metodi di soluzione:

 

a) Sostituzione, b) Confronto, c) Eliminazione, o riduzione, o qualcos'altro (manco si mettono d'accordo sul nome!), d) Cramer.

 

Ma che roba è questa?!

 

Caro studente, lascia perdere le classificazioni e vai subito al sodo! Hai due equazioni lì davanti e devi in qualche modo cavarne fuori una, con una sola incognita, che sai risolvere; poi basta sostituire il risultato nell'altra e il gioco è fatto!

Allora, guarda bene 'ste due benedette equazioni (dovrebbe essere sempre obbligatorio un minuto di pausa fra un passaggio e l'altro per riflettere e decidere che cosa fare) e vedi se c'è una x o una y che ha un coefficiente semplice, ricavala e sostituiscila nell'altra...

 

Perfetto, ma questo è il metodo di sostituzione.

 

Certamente. Il metodo di sostituzione funziona sempre e basta per vivere felici!

 

Però, come ho appena detto, ci sono 4 modi per applicarlo, a seconda se risolvi rispetto a x o rispetto a y, in una equazione o nell'altra; vanno tutti bene, ma qualcuno è più facile e veloce e qualcuno più complicato, quindi con maggiore probabilità di errori banali (fra un passaggio e l'altro, dedicate altri 30 secondi per controllare se non avete fatto errori di trascrizione).

Compito del professore dovrebbe essere di far crescere il senso critico degli studenti, aiutandoli ad usare bene la loro libertà (e sì, la libertà c'è anche in Matematica e distingue gli esseri intelligenti dai computer); in questo caso aiutandoli a scegliere la variabile più conveniente rispetto a cui risolvere.

 

Il professore può anche insegnare qualche trucchetto che, talvolta, può sveltire i conti.

Alla base ci sta il fondamentale teorema, su cui bisognerebbe insistere molto, che ciascuna delle due equazioni può essere sostituita da una loro combinazione lineare (non banale, cioè con coefficienti non entrambi nulli).

Dopo che il prof lo abbia illustrato con qualche esempio, lo studente può accorgersi, nel famoso minuto di riflessione, di essere nel caso fortunato in cui una semplice combinazione lineare (somma o sottrazione, per esempio) permette di eliminare un'incognita; così può arrivare allo stesso risultato del metodo di sostituzione, ma un pochino più in fretta; questi sono i metodi b) e c), ma non c'è niente di male se lo studente non se ne accorge o se preferisce stare sul sicuro con il metodo di sostituzione.

 

E' invece concettualmente importante far notare che può succedere che l'eliminazione di un'incognita con un'opportuna combinazione lineare (o con il metodo di sostituzione) faccia sparire anche l'altra; allora si ottiene un'equazione il cui primo membro (quello delle incognite) è zero! Se anche il II membro (il termine noto) è zero, allora chi ci ha venduto il sistema ci ha imbrogliato: noi abbiamo pagato per due equazioni e invece ce ne ha data una sola, con due incognite!
Allora il sistema si dice indeterminato, perché nell'unica equazione rimasta possiamo fissare il valore di un'incognita a nostro totale arbitrio.

Se invece il II membro è diverso da zero, possiamo denunciare il venditore per falso, come è l'eguaglianza 0=qualcosa di diverso da zero. Naturalmente in questo caso è impossibile risolvere il sistema.

 

A questo punto il prof può far notare che, scritto il sistema in forma normale, cioè
ax+by=e
cx+dy=f,
(con a,b,c,d tutti diversi da zero, altrimenti è già praticamente risolto), si può costruire una combinazione lineare con il primo membro uguale a 0 (quella che porta a sistema indeterminato o impossibile) se e solo se i coefficienti delle incognite sono proporzionali, cioè se vale a/c=b/d, ovvero se ad-bc=0.

Qui, per ossequio ai programmi ministeriali o per far capire perché mai sul libro se ne parli, si può dire che questa osservazione sta alla base del metodo di Cramer, che studierete da grandi; per ora vi basta sapere che, prima di fare i conti, conviene calcolare ad-bc (il determinante dei coefficienti, per gli amici).
Se è diverso da zero, si va avanti con il metodo di sostituzione, o affini.

Se invece è uguale a zero, è inutile continuare: se vale anche e/f=a/c, allora le due equazioni sono una sola e il sistema è indeterminato, se invece e/f è diverso da a/c, le due equazioni sono in contrasto fra loro e il sistema è impossibile. E, mi raccomando, basta così con Cramer!

Il suo metodo è il migliore per risolvere sistemi di tante equazioni con tante incognite, ma usarlo per due equazioni è come sparare a una mosca con il cannone, con il rischio di essere gettati a terra dal rinculo.

Per apprezzare il metodo di Cramer, bisogna avere un minimo di conoscenza della teoria delle matrici; è una teoria molto importante, è necessaria anche in Fisica. ma per la Meccanica Quantistica, non certo nei primi anni delle superiori.

 

Altrimenti con il metodo di Cramer si propinano agli studenti delle formule magiche da studiare a memoria, che spesso non funzionano, perchè uno non le recita perfettamente! E quando servirebbero davvero, nessuno se le ricorderà più.

 

Attenzione però: il sistema non è veramente risolto fino a quando non si sia effettuata la verifica.

Basta applicare la definizione di sistema di equazioni: "è un insieme di uguaglianze che diventano identità quando alle incognite si sostituiscano i valori che costituiscono la soluzione".

 

Ma bisogna farlo (anche se il prof non lo chiede, ma rivolgo un appassionato invito ai prof a far sempre verificare tutto il verificabile: è fondamentale per dare autonomia e sicurezza allo studente): è inutile guardare la soluzione sul libro, anzitutto perché ci può essere un errore di stampa, ma soprattutto perché, se mai nella vita vi capitasse di dover risolvere un sistema, dovreste essere in grado di verificare da soli se avete trovato la soluzione giusta.

C'è solo un caso in cui la verifica non potete farla: se il sistema è impossibile la soluzione non c'è.

Se invece vi risulta un sistema indeterminato, soluzioni ce ne sono troppe.

Allora sostituite nelle equazioni di partenza (NOTA: le verifiche vanno sempre fatte dall'inizio inizio, from the very beginning se preferite, perchè potreste aver fatto un errore già nel primo passaggio FINE NOTA) un valore a scelta per la x (suggerisco 0, chissà perché); risolvendo entrambe le equazioni nella y, se avete fatto i conti giusti dovreste trovare lo stesso valore. Poi ripetete partendo con y=0 e risolvete rispetto a x.

Spero che la ricetta vi sia piaciuta: ricordatevi che la verifica è come assaggiare se il dolce che avete preparato è venuto buono. Altrimenti, che cucinate a fare?

 

Un'ultima osservazione: sarebbe bello abbinare lo studio dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite con quello dell'intersezione di due rette nel piano; in particolare, due rette parallele o addirittura coincidenti sono una bella applicazione dei sistemi impossibili o indeterminati; chi ve li ha venduti potrebbe così mostrare che non vi ha imbrogliati, anzi vi ha fatto imparare qualcosa di nuovo.

 

Ho rubato un po' di tempo con quest'ultima osservazione per mostrare quanto sia importante superare i compartimenti stagni e far interagire argomenti apparentementi diversi.

Se lo studente associa sistema impossibile a rette parallele, ricorda meglio tutti e due, tanto più se osserva che l'uguaglianza dei coefficienti angolari -a/b=-c/d è la stessa cosa della proporzionalità a/c=b/d.

 

Devo per forza finire qui la predica, temo di avere già ampiamente superato gli otto minuti canonici. Magari un'altra volta parleremo di equazioni di secondo grado e soprattutto del completamento del quadrato (è un trucchetto utilissimo in molti rami della Matematica, ma forse non l'avete mai sentito nominare!).