
Le belle esortazioni rischiano però di lasciare il tempo che trovano, se non sono illustrate da esempi concreti.
Naturalmente mi rivolgo in primis ai professori, ma mi farebbe piacere se leggessero anche gli studenti, anzi spesso parlo direttamente a loro (però non usate questo scritto contro i vostri insegnanti! Promesso? Anche perché spesso è colpa dei libri di testo o addirittura dei programmi...).
Mi aspetto, anzi spero, che la prima reazione del prof sia: "Ma vuol insegnare ai gatti ad arrampicare? Queste sono cose banali e le sappiamo benissimo!". In tal caso, interpretate questo articoletto come un incoraggiamento. Chissà però che qualcuno non sia stimolato a riflettere in modo critico su qualche aspetto del suo metodo d'insegnamento?
Allora, guarda bene 'ste due benedette equazioni (dovrebbe essere sempre obbligatorio un minuto di pausa fra un passaggio e l'altro per riflettere e decidere che cosa fare) e vedi se c'è una x o una y che ha un coefficiente semplice, ricavala e sostituiscila nell'altra...
Compito del professore dovrebbe essere di far crescere il senso critico degli studenti, aiutandoli ad usare bene la loro libertà (e sì, la libertà c'è anche in Matematica e distingue gli esseri intelligenti dai computer); in questo caso aiutandoli a scegliere la variabile più conveniente rispetto a cui risolvere.
Alla base ci sta il fondamentale teorema, su cui bisognerebbe insistere molto, che ciascuna delle due equazioni può essere sostituita da una loro combinazione lineare (non banale, cioè con coefficienti non entrambi nulli).
Dopo che il prof lo abbia illustrato con qualche esempio, lo studente può accorgersi, nel famoso minuto di riflessione, di essere nel caso fortunato in cui una semplice combinazione lineare (somma o sottrazione, per esempio) permette di eliminare un'incognita; così può arrivare allo stesso risultato del metodo di sostituzione, ma un pochino più in fretta; questi sono i metodi b) e c), ma non c'è niente di male se lo studente non se ne accorge o se preferisce stare sul sicuro con il metodo di sostituzione.
Allora il sistema si dice indeterminato, perché nell'unica equazione rimasta possiamo fissare il valore di un'incognita a nostro totale arbitrio.
Se invece il II membro è diverso da zero, possiamo denunciare il venditore per falso, come è l'eguaglianza 0=qualcosa di diverso da zero. Naturalmente in questo caso è impossibile risolvere il sistema.
ax+by=e
cx+dy=f,
(con a,b,c,d tutti diversi da zero, altrimenti è già praticamente risolto), si può costruire una combinazione lineare con il primo membro uguale a 0 (quella che porta a sistema indeterminato o impossibile) se e solo se i coefficienti delle incognite sono proporzionali, cioè se vale a/c=b/d, ovvero se ad-bc=0.
Qui, per ossequio ai programmi ministeriali o per far capire perché mai sul libro se ne parli, si può dire che questa osservazione sta alla base del metodo di Cramer, che studierete da grandi; per ora vi basta sapere che, prima di fare i conti, conviene calcolare ad-bc (il determinante dei coefficienti, per gli amici).
Se è diverso da zero, si va avanti con il metodo di sostituzione, o affini.
Se invece è uguale a zero, è inutile continuare: se vale anche e/f=a/c, allora le due equazioni sono una sola e il sistema è indeterminato, se invece e/f è diverso da a/c, le due equazioni sono in contrasto fra loro e il sistema è impossibile. E, mi raccomando, basta così con Cramer!
Il suo metodo è il migliore per risolvere sistemi di tante equazioni con tante incognite, ma usarlo per due equazioni è come sparare a una mosca con il cannone, con il rischio di essere gettati a terra dal rinculo.
Per apprezzare il metodo di Cramer, bisogna avere un minimo di conoscenza della teoria delle matrici; è una teoria molto importante, è necessaria anche in Fisica. ma per la Meccanica Quantistica, non certo nei primi anni delle superiori.
Basta applicare la definizione di sistema di equazioni: "è un insieme di uguaglianze che diventano identità quando alle incognite si sostituiscano i valori che costituiscono la soluzione".
C'è solo un caso in cui la verifica non potete farla: se il sistema è impossibile la soluzione non c'è.
Se invece vi risulta un sistema indeterminato, soluzioni ce ne sono troppe.
Allora sostituite nelle equazioni di partenza (NOTA: le verifiche vanno sempre fatte dall'inizio inizio, from the very beginning se preferite, perchè potreste aver fatto un errore già nel primo passaggio FINE NOTA) un valore a scelta per la x (suggerisco 0, chissà perché); risolvendo entrambe le equazioni nella y, se avete fatto i conti giusti dovreste trovare lo stesso valore. Poi ripetete partendo con y=0 e risolvete rispetto a x.
Spero che la ricetta vi sia piaciuta: ricordatevi che la verifica è come assaggiare se il dolce che avete preparato è venuto buono. Altrimenti, che cucinate a fare?
Se lo studente associa sistema impossibile a rette parallele, ricorda meglio tutti e due, tanto più se osserva che l'uguaglianza dei coefficienti angolari -a/b=-c/d è la stessa cosa della proporzionalità a/c=b/d.